电力电子系统中的复杂行为及其在实际电路设计中的应用

谢智刚
香港理工大学电子及资讯工程学系
cktse@ieee.org

摘要

电力电子电路与系统中普遍存在着分岔和混沌现象。在这类系统中，当某些选定的参数发生变化时系统往往会产生非线性行为，例如倍周期分岔、Hopf分岔、共存吸引子以及边界碰撞等。目前，对电力电子系统中分岔行为识别的研究已经比较成熟。已有大量的文献报导了各种分岔行为、并研究了其内在的起因以及影响分岔的理论参数。

近来，人们已经开始探寻电力电子系统中的复杂行为在工业电力电子领域中的潜在应用。其中一个研究方向就是，将现有的关于分岔行为的研究成果应用于实际电力电子系统的设计。该研究的主要障碍在于，现有关于分岔行为的结果多是以抽象的数学形式表示，因而无法直接将其应用于实际的系统设计。我们在这一领域的工作就是为了弥和理论研究与实际应用之间的差距。我们的具体目标是：

根据实际应用的相关条件，重新组织现有的研究结果；
给出一个面向设计的方法，用来分析电力电子电路与系统中的分岔行为；
对普通应用的电力电子系统中分岔行为的识别进行基础研究。

为了实现第一个目标，几乎需要对所有电力电子系统中与分岔现象相关的问题都进行重新的审视。这是因为现有的绝大多数的研究结果都是通过抽象的数学条件来表达，而没有与实际的电路条件建立直接的联系。为了使现有的结果能够应用于工程设计，现有的研究方法必须在问题的阐述上进行彻底的改变。这就很自然的出现了上述的第二个目标，即给出一个实用化的面向设计的分岔分析方法。目前，大多数实用的设计准则都是基于所研究系统的线性化模型，并没有考虑到分岔行为。虽然分岔行为通常是不希望出现的，但由于一些偶然因素或系统设计的需要而使得系统参数改变时，很可能会发生分岔行为。与传统的方法不同，面向设计的分岔分析方法可以使设计准则更实用化，再结合发生分岔的边界，可以大大方便对系统实际性能的评估。最后，对于某些实用的变换器电路，仍然需要对其中的未知分岔现象进行基本的研究。而且，采用的研究方法必须是面向设计的。只有这样，所得到的结果才能够直接令电力电子工程师受益。

1. 引言

对于电力电子电路与系统中非线性现象的研究，主要集中于功率变换器随某些参数变化时所产生的分岔与混沌行为。虽然这些研究结果大大促进了对电力电子系统中非线性行为的理解，但是对于解决实际系统的设计问题并没有太多的指导意义。这主要是因为，进行基本研究的方法和实际系统的设计方法完全不同。电力电子工程师们经常会问：
研究分岔和混沌究竟能给工业电力电子系统的设计带来什么样的潜在应用？
我们的研究工作正是为了揭示电力电子系统中分岔与混沌行为研究的实用性。特别地，是为了试图完成如下目标：

根据系统的实际应用条件重新组织现有的研究结果（目标1）；
给出一个用来分析电力电子电路与系统中分岔行为的面向设计的方法（目标2）。

上述的目标1是非平凡的，它需要对问题进行完全的重构。这是因为，现有的研究结果并不是通过实际的电路条件得到的，而是基于忽略了应用细节的理想化模型获得的。为了使结果可以得到实际应用，我们需要考虑具体的电路元件以及实际的操作情形。大多数时候，在这两种情况下得到的结果是一致的。但是，当考虑了实际电路和实际操作条件时，所得到的结果就变得更有意义。目标2实际上是利用已有的分岔分析方法，制订一套可直接应用于实际设计问题的面向设计的程序。

为了更深入的了解电力电子电路与系统中的非线性行为，还应该进一步地揭示其中的未知现象及其内在起因。这和以往研究实际电力电子电路的方法非常相似。因此，下面给出的目标就是对以上两个目标的补充。

对普通应用的电力电子系统中分岔行为的识别进行基础研究（目标3）。

2. 研究动机和影响

电力电子学是一门由工业实际需求所推动发展的学科。为了得到更好的产品，人们对可靠性和性能的标准的要求不断提高。这使得工程人员必须从系统的角度去统筹考虑，以实现性能的最优化。从这个意义上讲，实用的分岔分析方法将对电力电子系统的设计产生长期的影响。这是因为，一个给定的电力电子系统的性能和设计参数的选取有直接关系，而设计参数往往是对分岔敏感的。在实际应用中，分岔行为是要尽量避免的；但是，如果系统设计的离分岔边界太远，却又会降低系统的性能特征，如瞬态响应速度。因此，为了实现系统性能最优，实际的设计方法必须考虑到设计上的平衡。在这种情况下，面向设计的分岔分析将对实际的设计方法产生重要的影响。

3. 当前研究状况回顾

电力电子学是一门由实际应用而产生的学科，它和现实生活中的工商, 居住及航空航天环境有着密切联系。其发展主要围绕着具体的亟待解决的能量转换问题. 作为电力和电子工程的一个分支，近三十年来, 电力电子学在很多技术领域都取得了长足的发展，如电力设备、控制方法、电路设计、计算机辅助分析、无源元件以及打包技术等。通过一些重要的会议[2,3]上的议题可以看出，电力电子学的主要问题是如何实现应用中所使用电路的功能需求。与很多其它工程领域一样，电力电子学也主要由实际的应用推动其发展。通常，某个电路拓扑或系统在还没完全分析清楚之前就已经得到了广泛的应用。例如，很简单的一个开关变换器在30多年前就已经有了广泛的应用。但是，直至20世纪70年代后期才发展出了较好的分析模型，用于更好的理解系统和进行系统化的电路设计[4]。至今，人们仍然还在积极的深入探讨该系统的分析描述方法和建模方法。虽然非线性现象在电力电子电路中是普遍存在的，但也只是在近年来才得到了恰当的、正式的研究。电力电子中非线性现象的基本研究始于20世纪80年代末期[5]-[7]。很多已报道的工作都是直接将分岔理论应用到简单变换器电路的非线性模型中[8]。虽然这些研究工作揭示了电力电子系统中很多所谓“奇怪的”非线性现象，但由于考虑的是简化的模型和理想化的操作条件，因而这些研究都缺少能够直接令工程人员受益的面向设计的分析结果。简而言之，这些研究能够在学术领域获得很好的认同，但却是与电力电子学的应用实践相矛盾的。

3.1 其他研究者的工作回顾

上面已经提到，直至20世纪80年代末期才开始对电力电子系统中的非线性现象进行认真的研究。工作的重点主要是对功率变换器中的非线性动力学及混沌行为进行基础研究。以下是香港理工大学之外的一些研究小组工作的总结。

电力电子系统中的分岔和混沌现象最早由Hamill等人在20世纪80年代末期予以报导。1990 年，Krein和Bass在实验中观察到了关于有界性、震颤、以及混沌等现象。尽管这些早期的报导并没有包含严格的理论分析，但却为电力电子系统中复杂行为的研究及其在实际设计中的潜在应用，提供了坚实的依据。自此，越来越多的人开始致力于电力电子系统中复杂现象的研究。1990年，Hamill等人首先在IEEE电力电子专家会议上报导了对一个简单的Buck 变换器中混沌现象的研究 [5]。通过使用隐式的迭代映射，他们由数值分析、PSPICE仿真以及实验等方面，验证了Buck 变换器中的倍周期分岔、次谐波和混沌现象。后来，他们还得到了电流型控制Boost 变换器具有闭合形式的迭代映射[10]。利用此闭合形式的迭代映射，可以对这一类简单变换器的分岔类型和结构不稳定性进行分析。之后，大批研究人员开始针对更广泛的与电力电子相关的电路和设备进行研究，工作主要集中在对分岔模式以及奇怪吸引子的识别。近来，Banerjee 和Verghese还出版了一本以电力电子系统中的非线性现象研究为主题的著作[11]。

Chakrabarty 等人还研究了Buck变换器中的分岔行为[12]。他们研究了系统在一系列参数变化下的分岔行为，这些参数包括了电感,、负载电阻以及输出电容等。1996年， Fossas 和 Olivar [13] 详细的给出了关于Buck变换器动力学行为的解析描述，并识别了其混沌吸引子的拓扑结构，同时还研究了与不同系统演化相关联的区域。通过对系统状态进行周期采样，他们还得到了所谓的频闪式映射，并由此映射研究了一个简单的电压反馈型脉宽调制Buck变换器所可能出现的各种操作状态。另外，电流型控制dc/dc变换器中的分岔行为也有许多的人进行研究，如Deane[14]。电力电子系统中典型的分岔行为通常包含了某种跃变。在发生跃变时，可以观察到“由周期状态到混沌状态的突然跳跃”。这种跃变是无法用如“倍周期分岔”和“鞍结分岔”这些标准分岔来解释的。实际上，如Banerjee 等人 [15,16] 和Di Bernardo [17] 所认为的那样，这种跃变是由开关动力系统中[18]所独有的一类叫做“边界碰撞”的分岔所引起的。

近年来，除了dc/dc变换器以外，人们还对其它一些电力电子电路进行了研究。Dobson等[19]研究了二极管和晶闸管电路中的“切换时间分岔”。该分岔现象表现为切换时刻发生了跳跃。此外，Kuroe[20]和Nagy 等人 [21]还分别独立的报导了感应发动机驱动中出现的分岔现象

3.2 香港理工大学研究的工作回顾

1994年, 我们首次报导了处于电流不连续运行模式下一个简单的dc/dc变换器中的倍周期分岔行为[22,23]。我们使用了一阶的迭代映射对该dc/dc变换器进行建模，并通过解析的方法确定了倍周期分岔点。其思想是计算与倍周期分岔相关的不动点处迭代映射的雅可比矩阵，由此来确定倍周期分岔发生的条件。通过仿真和实验，我们进一步的确认了所得到的结果。随后，我们在文献[24]中报导了电流不连续运行模式下dc/dc变换器中关于倍周期分岔条件的正式的理论研究结果。对于电流型控制的变换器，我们则研究了系统通向混沌的各种路径，及其对所选分岔参数的依赖性[25]。1995年，我们的研究扩展到了电流型控制的四阶库克变换器。而且，当没有对系统施加外部时钟且系统处于“自由运行”（如在滞后控制下）时，系统将处于自治状态，并且没有固定的切换周期。我们的研究表明，自由运行下的库克变换器会呈现Hopf分岔以及混沌现象[27]。另外，我们还尝试着研究了更高阶的并联变换器系统。此类系统正在成为大电流应用条件下最受欢迎的设计选择方案[28,29]。

就在最近，我们开始探讨分岔分析的应用。在各种具体的应用中，我们对实用的功率因素校正变换器的研究已经取得了富有成效的成果。另外，我们还应用分岔分析提出了关于快速尺度下不稳定性的难题。我们的结果都是通过实际的电路参数和条件得到的，可以清楚地给出参数空间中不同的稳定区域[30,31]。

4．未来研究的方法

在先前的小节中，我们已经识别出了非线性动力学和混沌理论在实际电力电子系统设计中进一步应用的关键问题。此问题可归结为非线性分析的理论结果与电力电子专业人员的实际观点之间普遍的不兼容性。为了克服该问题，我们的基本方法是，使用工程人员已经熟悉的概念重新描述关于分岔和混沌的问题。

为了阐明我们的方法，下面以典型的电流型控制dc/dc变换器为例予以说明。对此类开关变换器的非线性分析已经揭示了一些有趣的分岔模式[14,25]，但这些结果对于工程人员却一直是毫无用处的。利用这些分析结果、或者是识别这些结果用处的困难在于进行分析的方式。通常，非线性分析包括了建立模型、处理微分方程（或迭代映射）、计算雅可比矩阵以及分析轨道稳定性等步骤[25]。其结果往往是通过抽象的参数来表述，如理论上的反馈系数和参考电流。尽管这样的分析方法已经很好地解释了倍周期分岔现象，但电力电子领域却是在很多年前从另一个完全不同的角度进行了研究。其思想主要是考虑电感电流的梯度（斜率）[32,33]。“斜率补偿”这一有效的防止倍周期分岔的方法在实际中也已应用了很长时间。这说明，如果通过斜率补偿这些熟悉的概念对问题重新进行描述，所得结果对变换器的设计将会更加贴切。沿着这一思路，进来我们对电流型控制变换器进行了实用的、中肯的分析。我们还进一步地将该工作扩展到了功率因素校正变换器的研究，解释了关于快速尺度下不稳定性的实际问题

分析方法的简易性和结果的有效性与建模的方法有着密切的关系。因此，建模方法的选择对于我们的研究工作至关重要。我们的基本研究方法是，利用先前分析的仿真与（或）试验结果。其目的是为了对所研究系统可能出现的动力学行为有一个最初的了解。这是我们研究工作中的一个重要的步骤。因为，如果能够事先知道系统大约会出现的动力学行为的类型，我们就可以相应地选取适当的建模方法[8]。例如，以前曾经（错误地）认为平均法建模在研究分岔和混沌时是无效的，并且大多数的研究都是采用更为复杂的离散时间迭代映射建模方法。但是，当系统由规则的高频轨道分岔至长周期的极限环时（即发生了Hopf分岔），其本质上发生的是一种低频现象。因而，我们可以使用平均法建模来捕捉此现象。如果能够从先前分析的仿真或实验结果中获得这样的信息，那么平均法建模就是分析此类系统最好的选择。这是因为，平均法建模比较简单，而且已经足以用来捕捉此类的低频分岔行为[27]。

未来研究工作的另一个重要方面是关于所研究系统的选取。这对我们的研究方法具有直接的影响。以往，考虑到研究的方便和简单化，许多基础研究工作都是以完全理想化的系统为目标。这样，以往的研究方法通常是根据先前的理论分析步骤，力图得到具有闭合形式的解析解。例如，在研究边界碰撞时，大多数的工作都是针对简单的一阶情况，并且还非常详细地报导了关于各种跃变的分析结果[35,36]。在本研究项目中，我们将尝试尽可能多地考虑实际元件，以得到与实际设计直接相关的研究结果。换句话说，我们将尽量避免使用研究完全简化的“理想化”模型时所采用的的方法。我们认为，在考虑（更加复杂的）实际系统时，将会揭示出一些重要的新发现。例如，近来我们已经在考虑实际“噪声”环境的电源系统中，识别出了间歇性混沌现象[37]。(从技术上讲，所研究的电源系统考虑了由印刷电路板接地层所耦合的信号。)

最后需要指出的是，正如之前提到那样，我们应该以实际的系统为目标进行研究。在这种情况下，一般不太可能对所研究的系统进行简单的低阶分析。因而，我们不得不借助数值方法进行研究。由于在进行数值研究时必须指定具体的参数值，所以这样的研究将不具有一般性。此外，为了使研究结果在通常的情况下有效，必须使用归一化的参数表示所得到的结果。

5．进一步的阅读

香港理工大学非线性电路与系统研究小组关于功率变换器中复杂行为的研究工作，在最近出版的专著[38]中进行了重新的组织和详细的说明。该书还包含了基本的非线性系统分析以及功率变换器建模方法等方面的内容。

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